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Können Primzahlen berechnet werden?

Kurz gesagt, ja, aber der Aufwand, um eine Primzahl zu bestimmen, steigt abhängig von der Methode, je größer die Primzahl sein soll.


Kapitel 1 – Grundlagen natürlicher und Primzahlen

Erinnern wir uns daran, was Primzahlen sind. Im Internet gibt es vielzählige Definitionen, die besagen:

“Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist.”

Ok, hört sich gut an, aber da wären zwei Fragen: was sind “ganze Zahlen” und was heißt “ohne Rest teilbar”?

Um es anschaulich zu machen, nehmen wir eine bestimmte Anzahl von Münzen oder etwas anderem, das abzählbar ist. Das Adjektiv “abzählbar” ist der Schlüssel, um das Attribut “ganze Zahl” zu verstehen, die auch als “natürliche Zahlen“ bekannt sind.

Nun versuchen wir, mit den Münzen ein Rechteck zu legen.


Wenn wir es nicht schaffen, mit den Münzen zwei Rechtecke zu legen, ohne dass etwas übrigbleibt, dann haben wir es mit einer Primzahl zu tun. Das ist mit “ohne Rest teilbar” gemeint.

Aber wir sehen auch, dass je größer die Anzahl der Münzen wird, desto mehr Rechtecke und Platz brauchen wir.

Kann man das nicht beschleunigen?

Nun, ja, wir könnten nur bis zum Quadrat Rechtecke auslegen. Und dabei ist es unwichtig, ob dieses Quadrat einen Rest ergibt oder nicht. Rechtecke nach dem Quadrat sind eigentlich nur Wiederholungen früherer Versuche. Es gibt noch mehr Verbesserungen, aber hier soll es um die Natur der Primzahlen gehen und dazu sind diese “unnützen Rechtecke” eigentlich ganz brauchbar. Es gibt weitere Testverfahren, um zu sehen, ob eine Primzahl tatsächlich eine Primzahl ist.

OK, dann noch eine Frage: Wie viele Primzahlen gibt es überhaupt oder gibt es unendlich viele?

Der Altgrieche Euklid meinte, ja, es gibt unendlich viele Primzahlen. Er bewies dies damit, dass wenn man alle bekannten Primzahlen addiert und dazu noch eine Eins hinzurechnet, dann muss es eine bis dahin unbekannte Primzahl geben. Entweder ist sie das Ergebnis dieser Rechnung, oder sie kann dieses Ergebnis ohne Rest teilen.

Belassen wir es dabei. Wir wollten nicht rechnen, sondern Primzahlen bestimmen. Damit ist gemeint, was die nächste Primzahl, wenn wir eine vorgegebene Zahl haben.

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Kapitel 2 – Primzahl(en) ohne Rechnen finden

Dazu greifen wir auf die Vierecke mit den Münzen zurück und wenden folgende Regeln an:

  1. Wir legen zu jedem Rechteck eine weitere Münze – entweder in einer neuen Reihe, oder hinter den Rest
  2. Wenn eins der Rechtecke keinen Rest hat, wiederholden wir Schritt 1
  3. Wenn alle Rechtecke Reste haben, enthält die letzte Reihe die Anzahl Münzen, die der gesuchten Primzahl entsprechen

Wenn wir weitere Primzahlen finden wollen, machen wir einfach folgenden Schritt und wiederholen obige wieder:

  1. Wir kopieren die letzte Münzreihe und nutzen sie, um dort mit einer neuen Reihe wieder Reste aufzufüllen

Richtig cool! Aber können wir das noch verbessern?

Nun, wie wir anhand des Verfahrens sehen, hängt es vom Rest jedes Vierecks ab, um zu entscheiden, ob eine Zahl prim ist oder nicht. Also können wir die Rechtecke weglassen und uns auf die Reste konzentrieren, wobei das „Ein-Reihen-Viereck“ die Zahl an Münzen enthält, die wir gerade untersuchen. Um uns aber jedes Rechteck zu merken, legen wir eine weitere Reihe dazu, die so viele Münzen enthält, um die fehlende Reihe bis zum Rechteck auszulegen. Nennen wir diese Reihe „Vervollständiger“.

Der Ablauf ändert sich ein bisschen:

  1. Statt jeweils eine Münze zu einem Rechteck dazuzulegen, schieben wir eine Münze aus der “Vervollständiger-Reihe” in die “Reste-Reihe” und legen nur zur letzten Reihe, die keine “Vervollständiger-Reihe” hat, eine neue Münze
  2. Wenn eine “Vervollständiger-Reihe” leer ist (alle Münzen liegen in der dazugehörigen “Reste-Reihe”), schieben wir alle Münzen der “Reste-Reihe” in die dazugehörige “Vervollständiger-Reihe” und in der nächsten Runde wiederholen wir Schritt 1
  3. Wenn alle “Vervollständiger-Reihen” Münzen enthalten, haben wir es mit einer Primzahl zu tun – in der letzten Reihe liegen entsprechend viele Münzen

Um weitere Primzahlen mit dieser Methode zu finden, ändert sich Schritt 4 nicht:

  1. Wir kopieren die letzte Münzreihe und nutzen sie, um dort mit einer neuen Reihe wieder Reste aufzufüllen


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Kapitel 3 – Diagramm mit Resten und “Vervollständigern”

Eigentlich ist die Verwendung von Resten mathematisch gesprochen Rechnen mit Modulo. Die “Vervollständiger” sind nur zur besseren Orientierung. Wir können die Ergebnisse in einem Diagramm verwenden, um einen besseren Überblick zu bekommen:


Es gibt einiges darüber zu sagen, was man aus diesem Diagramm ablesen kann:

Die “Flaggen” hängen zum Beispiel mit den früheren Rechtecken zusammen:


Wenn wir die ersten fünf Balken für die Zahlen 60, 120, 180, 240, 300 (und so weiter +60) vergleichen, sehen wir keinen Unterschied. Das gleiche passiert auch für andere Zahlen wie zum Beispiel bei 67, 127, 187, 247, 307 (und so weiter +60). Es gibt also Intervalle, wann sich Muster wiederholen.


Manche Muster sehen chaotisch aus (zum Beispiel die ersten 200 Balken der Zahl 700) und dann wieder erscheinen irgendwie Bögen (zum Beispiel bei den ersten 200 Balken der Zahl 2500). Dieses Verhalten deutet auf Oszillation und Interferenzen hin.


Und es scheint, dass sich etwas bewegt, wenn man die Diagramme hintereinander abspielt:


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Kapital 4 – Uhren und Sinuskurven mit Primzahlen

Wie wir im vorigen Kapital gesehen haben, werden die Balken für Reste und “Vervollständiger” zurückgesetzt, wenn der “Rest” voll ist. Dieses Verhalten kann wie folgt illustriert werden:


Daher können wir jeden Balken des Diagramms auch mit einer Uhr ersetzen. Eine andere Idee wäre, Zahnräder oder Pendel zu verwenden. Die wichtigste Erkenntnis ist, dass der Unterschied zwischen diesem “natürlichen Zahlen” und unserem Zählen darin besteht, dass wir Zahlensysteme verwenden, wo Uhren nicht simultan ablaufen, sondern ab einer bestimmten Stellung wechseln.


Weil wir Primzahlen in unser Zahlensystem pressen, scheint es für uns, dass Primzahlen spontan und zufällig erscheinen. Dabei lieben wir es, Muster zu erkennen, indem wir Zahlen in zwei Dimensionen anordnen.

Hier können Sie sehen, dass Primzahlen (und ihre Quadrate) nur in bestimmten Spalten auftauchen, je nachdem, welche Spaltenanzahl wir festlegen. Wenn wir eine andere Spaltenanzahl wählen, erscheint die Verteilung chaotisch.


Eigentlich könnten wir das Attribut “prim” damit umschreiben, den Zahlenstrahl in “Häppchen” aufzuteilen. Und es gibt ein Kinderspielzeug, das genau dies veranschaulicht:


Vielleicht kennen Sie bereits die Funktion, die etwas ähnliches tut: die Sinusfunktion. Verwendet man verschiedene Sinuswellen, jede mit einer Periodenlänge vom doppelten einer Primzahl, markieren die Nullpunkte im Graphen zusammengesetzte Zahlen. Die Sinuskurve hinterlässt neue Primzahlen.


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Kapitel 5 – Zwei Methoden, um Primzahlen vorherzusagen

Das “Sieb des Eratosthenes” nutzt eigentlich genau diese Idee, um neue Primzahlen zu finden. Es wird meist in einem 10x10 großen Quadrat gezeigt, wo die Nichtprimzahlen markiert werden:


Man findet neue Primzahlen „Paketweise“, indem man alle Vielfachen aller Primzahlen bis zu einer bestimmten Größe ausstreicht. Man kann mit dem Ausstreichen aufhören, wenn eine gefundene Primzahl größer als die Quadratwurzel des Bereichs ist, in dem man Primzahlen finden will. Alle unmarkierten Zahlen sind dann Primzahlen.

Aber, das ist eine indirekte Methode, um Primzahlen zu finden: was übrigbleibt, ist prim. Allerdings zeigt sich, dass Primzahlen neue Primzahlen ergeben, je nach Methode (Sieb, Sinuswellen, Uhren, Zahnräder, Pendel…). Dabei handelt es sich um eine Art Iteration / Rekursion. Und wie wir von Fraktalen kennen, tauchen dabei Selbstähnlichkeiten auf. Und solche Eigenschaften können auch bei Primzahlen gefunden werden, wenn man sie graphisch anordnet. Allerdings „zerstören sich“ diese Strukturen, wenn man weitere Primzahlen einsetzt.


Das Diagramm mit den Resten lädt dazu ein, den sogenannten „Chinesischen Restsatz“ zu verwenden, um Primzahlen zu finden. Das ist ein Verfahren, um für verschiedene Zahlen mit unterschiedlichen Restwerten (bei der Division) eine entsprechende Zahl zu finden, die alle diese Restwerte ergibt. Und eine Primzahl ist gerade dadurch definiert, dass sie beim Teilen durch andere Primzahlen immer über Restwerte verfügt. Also, warum nicht die Restwerte von bekannten Primzahlen in den Algorithmus einsetzen? Ich möchte nicht weiter auf das Verfahren dieses Algorithmus eingehen (es gibt Artikel und Videos, die den „Chinesischen Restsatz“ erklären).

Leider spuckt der Algorithmus nicht nur Primzahlen aus, sondern auch zusammengesetzte Zahlen. Trotzdem gibt es einen Vorteil, denn die Zahlenmenge enthält keine zusammengesetzten Zahlen aus Primzahlen, die zu der Menge führte. Damit ist die zu testende Anzahl enorm reduziert. Und vielleicht gibt es in dem Ergebnis „Muster“, um Primzahlen eindeutig zu identifizieren?


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Kapitel 6 – Zusammenfassung

Die beschriebenen Gedanken über Primzahlen sind vielleicht nützlich, um die Natur der Zahlen besser zu verstehen. Es gibt noch viel mehr zu entdecken und über Primzahlen zu erzählen. Ich frage mich, ob sich große Mathematiker wie Euklid, Fermat, Goldbach, Euler, Fourier, Gauß, Riemann und andere Primzahlen auch auf diese Art vorgestellt haben.

Basierend auf der Idee, dass Primzahlen neue Primzahlen „gebären“, frage ich mich, wie viele Primzahlen wie viele neue Primzahlen „hervorbringen“. Ich bin allerdings kein Spezialist, um diese Frage zu beantworten. Aber ich denke, es gibt einen Weg, das zu berechnen.

Wenn Sie erwartet haben, in diesem Artikel etwas über Primzahlenzwillinge, die Goldbach-Vermutung, die Ulam-Spirale oder die Riemannsche Vermutung zu lesen, muss ich Sie enttäuschen. Ich weiß nicht einmal, ob diese hier beschriebenen Gedanken etwas zur Lösung dieser Fragen beitragen können. Im Prinzip bin ich kein Fachmann im Bereich der Primzahlen. Aber ich wehre mich gegen die Aussage, Primzahlen wären „zufällig“.

Nun, ich habe die Methode, Primzahlen ohne Rechnen zu finden, nicht selbst „erfunden“. Vor einigen Jahren sah ich einmal ein Video, das dieses Verfahren erklärte, ohne darauf einzugehen, warum das so ist. Und ich wollte verstehen, wie das funktioniert. Ich liebe es, Probleme zu lösen und dann zu erklären, wie ich darauf kam. Das war der Grund für diesen Artikel.

Es gibt noch weitere Methoden, Primzahlen zu finden, bzw. eine Zahl auf prim zu testen – das Internet ist voll davon. Es gibt auch noch mehr Theorien und Vermutungen zu Primzahlen. Manche davon seriös, selbst von Nicht-Experten, andere bringen mich selbst zum Schmunzeln. Allerdings habe ich noch nichts entdeckt, was die Diagramme mit den Resten erklärt oder dass Sinuswellen Primzahlen darstellen können. Aber vielleicht habe ich auch nicht zu viel Energie investiert, um solche Inhalte zu finden.

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Written by Joerg Drescher, Kyiv, January 2024

    https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/